Sistemas Lineares e Determinantes

Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era superior.
Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.
HYGINO H. DOMINGUES* Enviado pelo usuário Jaime Batista

Disponível no site: http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php acessado em 04/12/2008

Matriz

Aplicação da Matriz de Jogos Estratégicos na modelagem
de estratégias cooperativas e competitivas para empresas
de um pólo têxtil e de confecções

Eliezer Arantes da Costa, elicosta@uol.com.br
Celso Pascoli Bottura, bottura@dmcsi.fee.unicamp.br
LCSI – Laboratório de Controle e Sistemas Inteligentes
FEEC – Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, Brasil
*Recebido: Setembro, 2007 / Aceito: Abril, 2008

RESUMO
Apesar do ambiente de colaboração generalizado necessário para se implementar qualquer cluster empresarial bem sucedido, a inevitável autonomia decisória e a livre iniciativa entre as suas empresas, operando, muitas vezes, como múltiplas e complexas cadeias de suprimento, fazem com que eles acabem buscando seus próprios interesses, ignorando os interesses dos demais agentes envolvidos. Tais empresas, competindo e/ou cooperando entre si, dão origem, naturalmente, a diversas situações de conflitos de interesses entre elas, conflitos esses que precisam ser modelados, tratados, conciliados e administrados. Apresentamos, neste trabalho, uma modelagem de estratégias cooperativas e competitivas dos mútuos relacionamentos entre as firmas ‘clusterizadas’, com base em conceitos da Teoria dos Jogos. Propõe-se a aplicação de uma metodologia de análise desses complexos empresariais utilizando a Matriz de Jogos Estratégicos, MJE, como o quadro de referência conceitual. Mostramos que a MJE se constitui numa útil ferramenta de suporte analítico e gerencial para o tratamento dos múltiplos conflitos de interesses entre os diversos agentes de um cluster, tanto para propósitos descritivos como prescritivos. Esta metodologia é aplicada ao assim chamado Pólo-Tec-Tex, uma aglomeração industrial e comercial de empresas têxteis e de confecções, localizada na região da cidade de Americana, no estado de São Paulo.

Palavras-chave: Matriz de Jogos Estratégicos. Pólo-Tec-Tex. Cluster empresarial. Teoria dos Jogos. Estratégias cooperativas e competitivas.

Disponível no site: http://www.latec.uff.br/sg/arevista/Volume3/Numero1/SG095_2006.pdf , acessado em 02/12/2008.

Funções

A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
►Características, tipos e elementos de uma função.
►Função do primeiro grau.
►Função do segundo grau.
Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo: Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica.
Para dar início ao estudo de função é necessário que tenha o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.

Disponível no site: http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm acessado em 27/10/2208

Conjuntos Numéricos

Letícia Paviani e Taís Cristina de Souza
Universidade de Caxias do Sul (Licenciatura Plena em Matemática)

Resumo: Este artigo aborda as diferentes aplicações dos Conjuntos Numéricos em algumas áreas profissionais, dando enfoque para algumas áreas que , para muitos, não tem nada a ver com Matemática. Também aproveitamos para pesquisar a origem de alguns conjuntos numéricos.
Palavras - chaves: conjuntos numéricos, aplicações.

Introdução:
"O que são e quais são os conjuntos numéricos?" Com certeza esta pergunta não traria nenhum problema em sua resposta, que seria imediata. Mas, se mudássemos para: "Quais as aplicações dos conjuntos numéricos no dia - a - dia?" Agora nossa pergunta não seria respondida de uma forma tão direta, pois infelizmente quando aprendemos e até quando ensinamos conjuntos numéricos, dificilmente vemos a sua aplicação, a sua utilização, tornando muitos conteúdos extremamente artificiais. Como professores de Matemática, nossa maior preocupação é mostrar que Matemática não é só cálculo, mas também o desenvolvimento do raciocínio através de situações cotidianas.

Apresentação das visitas do projeto:
Iniciamos esta pesquisa em torno de Engenharia e Eletrônica, mas podemos constatar que não é apenas nestas áreas que ela é utilizada diariamente, e por isso resolvemos expandir o nosso trabalho para outras áreas, como Moda e Estilo, Astronomia, Arquitetura e a própria Licenciatura de Matemática.
Para obter informações sobre a questão que levantamos, visitamos alguns locais que descreveremos abaixo:

Primeiro local visitado: Metagraf - Indústria gráfica
Fomos recepcionadas por José Carlos Luís de Souza, Engenheiro Mecânico responsável pela construção e projeto das máquinas da gráfica, que nos cedeu uma pequena entrevista e nos levou para conhecer a indústria, onde podemos constatar a importância dos conjuntos numéricos na indústria gráfica.

Segundo local visitado: Ateliê Lopes
No Ateliê Lopes, fomos atendidas pelo proprietário Jonas Lopes, formado em Moda e Estilo pela Universidade de Caxias do Sul, responsável pelo designer de algumas grifes caxienses, como Cigana e Boot e por todo funcionamento do ateliê. Lopes nos mostrou o seu trabalho e nos deu a sua concepção matemática sobre conjuntos numéricos no seu cotidiano.

Terceiro local visitado: Museu de Ciências e Tecnologia da PUCRS
Fomos recebidas no Museu por alguns estudantes da PUC e UFRGS, que participam do projeto "Futuro Cientista", que tem como objetivo incentivar a pesquisa científica no Rio Grande do Sul. Aproveitamos para conhecer o Museu e colher dados para a nossa pesquisa.

Quarto local visitado: Escola Estadual de 1º e 2º Apolinário
Na escola, fomos atendidas pelo Professor de Matemática Jairo da Rosa, formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade de Caxias do Sul. Com ele vimos diretamente as aplicações da Matemática em sala de aula de uma forma concreta.

Quinto local visitado: Farmácia Pio X
Fomos recebidas pelo farmacêutico Juarez Fernandez, formado em Farmácia pela Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), que nos cedeu uma entrevista onde esclareceu o uso da Matemática no seu setor.

Abaixo sintetiza as aplicações dos conjuntos numéricos, tendo como base as visitações citadas anteriormente:

Áreas Profissionais: Aplicações

Engenharia: projeto e construção de máquinas
Moda e Estilo: medidas e confecção de roupas
Cientistas: projetos, medição
Professores de Matemática: mercados, dia- a- dia, projetos, estruturas, ...
Farmácia: manipulação de remédios

Os profissionais de cada área citaram os Conjuntos Numéricos que eles utilizam com mais freqüência no seu cotidiano. Podemos observar abaixo :

Áreas Profissionais: Conjunto Numérico Usado

Engenharia: Todos os Conjuntos Numéricos
Moda e Estilo: Conjunto dos Números Naturais e Racionais
Cientistas: Todos os Conjuntos Numéricos
Professores de Matemática: Todos os Conjuntos Numéricos
Farmácia : Conjunto dos Números Naturais e Racionais

Disponível no site: http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/conjun.html acessado em 27/10/2008

Matemática em todas as disciplinas

Linguagens como gráficos, linhas do tempo e estatísticas são importantes demais para que seu aprendizado fique restrito a essa matéria
Revistas, jornais e noticiários de TV fazem amplo uso de valores numéricos, porcentagens, proporções, taxas, índices e gráficos. Os temas das reportagens variam, indo das finanças à previsão do tempo, passando por esporte, trânsito, meio ambiente, política, saúde. O fato mostra quanto o domínio das linguagens matemáticas é uma condição de cidadania que a Educação Básica tem de garantir. E isso só se consegue com um planejamento escolar articulado.
"O ensino de Geografia não será prejudicado se os estudantes aprenderem a calcular o IDH."
Ao aprender as primeiras operações, as crianças já podem ser orientadas a ajudar os pais a comparar preços e a somar os valores dos produtos no carrinho de compras para não ultrapassar a despesa prevista - atitude de consumo responsável. Ao longo das séries iniciais, é possível desenvolver habilidades como medir e estimar quantidades. Nas mais avançadas, cabe o uso de taxas de variação - por exemplo, no cálculo da vazão de uma torneira aberta ou na previsão do consumo mensal de energia de aparelhos domésticos. Sem prejuízo do ensino de conteúdos próprios, as aulas de Matemática são momentos privilegiados para a formação prática, que deve ser completada em atividades nas demais disciplinas. Isso se dá de muitas maneiras: quando os alunos usam mapas em diferentes escalas e analisam dados estatísticos de renda e condições de vida em Geografia; convertem unidades e organizam tabelas e diagramas sobre processos naturais em Ciências; medem um colega para desenhá-lo em proporções reais e usam recursos geométricos para representar perspectivas em Arte; usam linhas de tempo em que uma escala de Anos é zoom de uma escala de séculos em História; registram desempenhos atléticos e dados ergométricos em Educação Física; e produzem textos de ficção com base no gráfico de um saldo bancário pessoal ao longo do ano em Língua Portuguesa. Sem atividades desse tipo, crianças e jovens terão um menor domínio prático dessas linguagens. E isso não se corrige simplesmente com uma proporção maior de aulas de Matemática, especialmente se elas se concentrarem na "gramática". O que fazer, então, para garantir aquelas práticas em toda a grade curricular? É preciso planejar, e o exercício de linguagens matemáticas nas várias disciplinas - mais do que possível, essencial - só ocorre se for previsto no projeto pedagógico, que não pode ser um documento de gaveta. E não fica prejudicado o ensino de Arte ou o de Geografia se os estudantes aprenderem a desenhar a cabeça de um adulto com 1/8 da altura do corpo, a avaliar distâncias em perspectiva comparando triângulos, a reproduzir o trajeto da escola para a casa num guia com escala 1/10.000, tomando 1 centímetro por 100 metros, ou a calcular o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) do município em que vivem. Antes que se enciúmem disciplinas colocadas "a serviço" da Matemática, vale lembrar que um bom projeto pedagógico não omite a importância da História no ensino de Arte ou das Ciências no ensino de Geografia - para ficar só em dois exemplos - e vice-versa. Aliás, o que foi dito sobre Matemática vale para Língua Portuguesa, que também se aprende em todas as aulas se os professores fizerem um trabalho coordenado e atento aos avanços da turma.
Luis Carlos de Menezes
Físico e educador da Universidade de São Paulo, tem consciência de que o domínio das linguagens matemáticas é condição de cidadania.

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